第三章 历法莫先测验与继之以密算：实践与理论的统一
一、历之本在测验——先之以精测
在第二章第一节中，我们已经简要论及中国古代存在两种截然不同的历本思想，郭守敬"首言历之本在测验"，使遵从历法必须建立在实测天象的基础之上，历法 必须接受实际天象检验的历本思想成为授时历制作集体的共识。郭守敬既以"测验之器莫先仪表"之说，又以制作大量仪表的创造性行动将这一历本思想付之实践之 外，有效运用制成的仪表，进行大量的实际测量工作，更是实践这一历本思想的更重要行动。
至于如何对待实测天象所得的结果，古代历家实 际上也存在两种截然不同的态度。正如晋代杜预所说："当顺天以求合，非为合以验天。"（李淳风：《晋书·律历志下》。）即历法的制定当顺应、反映实测天象 所得的结果，而不是令实测天象所得的结果迁就主观制定的历法，也就是不应该把测验天象当作证明主观制定的历法正确性的一种装饰。在《授时历议·不用积年日 法》中，重申了杜预之说表达了郭守敬等人真正不折不扣地把对日月星辰的实际测验作为历法根本的思想。
《授时历议·不用积年日法》指 出："历法之作，所以步日月之躔离，候气朔之盈虚，不揆其端，无以测知天道，而与之吻合。"郭守敬在他所主持的晷影、冬至时刻、冬至点位置、闰应、转应、 交应、合应、历应、日出入时刻、恒星位置、四海测验等一系列测量工作，以及回归年长度及其古大今小法、日月交食法等的认定，都无不为测知并吻合天道而作， 也都充分体现了"历之本在于测验"的思想，又均是"先之以精测"的具体体现，对于其中每一项测算工作又有更为具体的理论阐述和技术措施，可分别讨论于下。
（一）晷影测量、冬至时刻与回归年长度的测定：多组测算法与"以取数多者为定"的原则
1.关于晷影测量与冬至时刻的测算
在第一章第五节（二）中，我们已经提及许衡关于"冬至者历之本，而求历本者在验气"的重要论述。许衡是在总结前人成功的经验和南宋前期诸历法未立表测影 的教训的基础上，抓住了历法中至关重要的一个核心问题，为授时历的制定提出了指导性的意见。对此，《授时历议·验气》有更明确与深入的阐述："天道运行， 如环无端，治历者必就阴消阳息之际，以为立法之始。阴阳消息之机，何从而见之？惟候其日晷进退，则其机将无所遁。候之之法，不过植表测景，以究其气至之 始。"古人认为一年四季的变化，是阴阳消长的结果，而冬至则是阴消尽、阳始生的重要时刻，依据这一理论，冬至被认定为往复无穷的四季变化的一个理想的起 点。因为冬至日中午时，太阳的地平高度是最低的（同一年中任一日中午时太阳的地平高度比较而言），其晷影是最长的，所以，冬至日是可以通过立表测影的方法 加以确定。《授时历议·验气》还指出："盖至日气正，则一岁气节从而正矣。"这是说，冬至的准确测定对于其他节气的准确确定具有关键作用，而24节气对于 指导社会生产活动、特别是农业生产的重要性则是无与伦比的，所以，冬至的准确测定是历法所追求的最重要的目标之一。正是基于这些思考，郭守敬等人开展了长 期而仔细的晷影测量工作，并对相应的数据处理方法进行了精心研究。
在中国，立表测影以确定冬至的工作，大约可以追溯到商代。在其后的 漫长岁月中，人们一直只能测定冬至所在的时日。正如《授时历议·验气》所说："刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景，折取其中，定为冬至，且以日差比 课，推定时刻。宋皇间，周琮则取立冬、立春二日之景，以为去至既远，日差颇多，易为推考。纪元后诸历，为法加详，大抵不出冲之之法。"这是郭守敬等人关于 冬至时刻测量发展的精辟回顾。对此可作必要的阐释：
在绝大多数情况下，太阳并不是正好在冬至日中午的时刻运行到距赤道最远的位置的， 所以，严格而言，用立表测影的方法是不可能直接测量得真正的冬至时刻的。刘宋祖冲之显然机敏地认识到这一点，并于刘宋孝武帝大明五年（461）发明了冬至 时刻测算方法：测量冬至日前、后23日与24日中午时的晷影长度，设冬至日前、后23日的晷影长度差为A，冬至日前23日与24日或冬至后23日与24日 的晷影长度差（"日差"）为B，又设C=50×A/B，则冬至时刻=50±C。祖冲之的测算方法实际上引进了两个假设：一是，冬至日前后相同时距的晷长是 相等的；二是，一日内晷长的变化是均匀的。这两个假设虽不严密，但由此引致的误差很小，在古代条件下，是可以允许的。也就是说祖冲之发明了一种相当可靠又 相当简便的冬至时刻测算方法，它成为中国古代的经典方法。宋仁宗皇元年（1049），周琮遵从祖冲之的基本方法，但改取冬至日前后约45日的立冬、立春的 晷影长度入算，研究表明，这一改动对于冬至时刻测算精度的提高具有重要意义，可见，郭守敬等人对周琮的改进的认同是很有眼光的。这里所谓"纪元"是指宋代 姚舜辅的纪元历（1106年制成），至于在姚舜辅之后，冬至时刻测算法在祖冲之基本方法的基础上如何"为法加详"，因史料不足，已无法确知，但其法给郭守 敬以启示是很有可能的。
在第一章第五节（四）中，我们已经提及郭守敬利用4丈木制高表与景符测得大量晷影长度值，利用了其中98个不 同日期的晷影长度值，进行冬至或夏至时刻的推算。郭守敬灵活运用了祖冲之发明的基本方法，将这些晷影长度值组合成45组（每一组由3个晷影长度值组成，其 中若干晷影长度值被重复运用），得出45个冬至或夏至时刻值，进而得出了1277年冬至时刻及1278年与1279年冬、夏至时刻值等5个数据。如对于 1277年冬至时刻的测算，其中第一组的情况可引述于下：
"推至元十四年（1277）丁丑岁冬至：其年十一月十四日己亥，景长七丈九 尺四寸八分五厘五毫；至二十一日丙午，景长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，景长七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二日之景相校，余三分五毫 （79.4855尺—79.4550尺=0.0305尺）为晷差，进二位（乘以100），以丙午、丁未二日之景相校，余八分六厘（79.5410尺 -79.4550尺=0.0860尺）为法，除之，得三十五刻（0.0305×100/0.0860=35.465刻，郭守敬取为35刻。一日=100 刻=12时）；用减相距日八百刻，余七百六十五刻（800-35=765刻）；折取其中，加半日刻（50刻），共为四百三十二刻半 （765/2+50=432.5刻）；百约为日，得四日，余以十二乘之，百约为时，得三时，满五十又作一时，共得四时（432.5/100=4.325 日=4日32.5刻，12×32.5/100=3.90时=3时90分，因为90分已大于50分，所以，应在子时后的第四个时辰——辰时），余（90— 50=40分）以十二收之，得三刻（40/12=3.333刻，郭守敬取为3刻）；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四日 景。"
由之可见，郭守敬所测得的晷长值的表明精度达到了"五毫"，即24.525×0.0005=0.12厘米，这一组是取用冬至日 前、后4日和冬至日前3日的3个晷影长度值，推算的方法采用的是祖冲之的基本方法更具体的推算方法可参见上述推算若严格以35.465刻计，则应为 764.535/2+50=432.267刻，即当年冬时刻应为癸卯日32.267刻。至其他44组的情况均与之相似（夏至时刻的测算方法和冬至时刻的测 算方法相同）。
1277年冬至时刻、1278年和1279年夏至与冬至时刻分别由6、10、7、7、15组晷影长度值推算得到的。 1277年冬至时刻、1278年和1279年夏至与冬至时刻各推算结果的最大值和最小值之差分别为0.383、2.128、0.478、0.796、 0.833刻。由于在晷影长度测量中存在各种误差，出现这些差异是可以理解的，也是允许的。面对这种情况，郭守敬是如何处置的呢？《授时历议·验气》指 出："新历积日累月，实测中晷，自远日以及近日，取前后日率相埒者，参考异同，初非偏取一二日之景，以取数多者为定。"那么何谓"以取数多者为定"呢？
王荣彬认为：这很可能是采取了求取由各组推算所得值的平均值并用四舍五入原则之意，由此可见，此说是可以自洽的。不过，还有一种可能是：用四舍五入的原 则，取定各组推算所得值，括号内所示各值，这样，1277年冬至时刻为32刻者3、为33刻者亦3；1278年夏至时刻为95刻者6、为96刻者3、为 94刻者1，以95刻为多；1278年冬至时刻为58刻者6、存疑者1，以58刻为多；1279年夏至时刻为19刻者5、20刻者2，以19刻为 多；1279年冬至时刻为82刻者有13、为81刻者2，以82刻为多。对后四项郭守敬的取用值分别为95、58、19、82刻，确符合以所取定的各组推 算值相同的多数作为某年冬至或夏至时刻值的原则，这同"以取多数者为定"的字面含义正相吻合。惟第一项32和33刻各占一半，难以用该原则确定，对此，郭 守敬大约只能在两者之间作一带主观性的选择了。
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